Nachdem ich stundenlang den Fehler gesucht hatte, warum eine lokal funktionierende Seite nach der Installation auf dem Live-Server (Hoster: Domainfactory) nicht funktioniert hatte, hat eine einfache Änderung die Lösung gebracht.

Also wer das gleiche Problem hat, dass zwar alle Bilder sauber angezeigt werden, aber externe CSS- und JS-Dateien weder gefunden werden oder ein Mime-Type Fehler in der Console erzeugt wird und auch der direkte Aufruf der URL einer externen CSS-/JS-Datei dazu führt, dass Contao einen 404-Fehler anzeigt, hat höchstwahrscheinlich die Installation über das Verzeichnis: "/web" aufgerufen. Ab Contao 5 ersetzt "/public" das "/web" Verzeichnis.

Schaut mal nach, ob dieses Verzeichnis nicht automatisch erzeugt wurde, dann genügt es, die Domain von /web auf /public zu setzen, grundsätzlich würde ich aber einen Neuinstallation empfehlen, weil ich jetzt nicht sicher sagen kann, ob dies später Komplikationen bei Updates verursachen wird, wenn die Grundinstallation über das "/web" Verzeichnis erstellt wurde.